{"id":15975,"date":"2018-07-08T12:33:03","date_gmt":"2018-07-08T11:33:03","guid":{"rendered":"http:\/\/www.oezratty.net\/wordpress\/?p=15975"},"modified":"2018-09-27T14:17:45","modified_gmt":"2018-09-27T13:17:45","slug":"comprendre-informatique-quantique-qubits","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.oezratty.net\/wordpress\/2018\/comprendre-informatique-quantique-qubits\/","title":{"rendered":"Comprendre l’informatique quantique – qubits"},"content":{"rendered":"

On peut comprendre le fonctionnement d\u2019un ordinateur quantique sans trop se plonger dans la m\u00e9canique quantique au-del\u00e0 de la compr\u00e9hension de ses m\u00e9canismes de base, vus dans dans l\u2019\u00e9pisode pr\u00e9c\u00e9dent de cette s\u00e9rie d\u2019articles<\/a>, et surtout celui de l\u2019intrication. Par contre, il faut se plonger un peu dans quelques \u00e9l\u00e9ments de math\u00e9matiques, d\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire et de trigonom\u00e9trie, ce que nous allons commencer \u00e0 faire ici.<\/p>\n

Le premier \u00e9l\u00e9ment de base d\u2019un ordinateur quantique est l\u2019in\u00e9vitable qubit. Vous avez certainement d\u00e9j\u00e0 entendu parler de cet objet myst\u00e9rieux capable d\u2019\u00eatre simultan\u00e9ment dans la valeur 0 et 1. Les explications courantes s\u2019arr\u00eatent le plus souvent l\u00e0 et vous tombez imm\u00e9diatement dans l\u2019expectative, vous demandant comment cela peut ensuite bien fonctionner.<\/p>\n

Nous allons donc commencer ici par expliquer le fonctionnement logique, math\u00e9matique et mat\u00e9riel de ces qubits. Dans la partie suivante de cette s\u00e9rie d\u2019articles, nous irons plus loin en d\u00e9crivant tour \u00e0 tour les registres, les portes, l\u2019organisation et l\u2019architecture compl\u00e8te d\u2019un ordinateur quantique. A chaque fois, lorsque n\u00e9cessaire, nous ferons le parall\u00e8le avec les ordinateurs traditionnels.<\/p>\n

Pour pouvoir suivre cette partie, il faut conna\u00eetre quelques basiques math\u00e9matiques : la trigonom\u00e9trie, les vecteurs et matrices et avoir d\u00e9j\u00e0 entendu parler des nombres complexes.<\/p>\n

\"Physique<\/a><\/p>\n

(ci-dessus, illustration de la conf\u00e9rence \u201cLe quantique, c\u2019est fantastique\u201d du 14 juin 2018 \u00e0 Nantes au Web2day par H\u00e9l\u00e8ne Pouille, c.f. <\/em>son site<\/em><\/a>\u00a0<\/em>et la vid\u00e9o de la conf\u00e9rence<\/a>)<\/em><\/p>\n

Le principe des qubits<\/strong><\/p>\n

Les qubits sont les \u00e9l\u00e9ments de manipulation de base de l\u2019information dans les ordinateurs quantiques. Ils s\u2019opposent aux bits de l\u2019informatique traditionnelle. Avec eux, on passe d\u2019un monde d\u00e9terministe \u00e0 un monde probabiliste.<\/p>\n

Dans l\u2019informatique traditionnelle, les bits correspondent \u00e0 des charges \u00e9lectriques circulantes qui traduisent le passage d\u2019un courant \u00e9lectrique ou son absence. Un bit est de valeur 1 si le courant passe soit de 0 si le courant ne passe pas. La lecture d\u2019un bit donne 1 ou 0. Elle est d\u00e9terministe, \u00e0 savoir que si l\u2019on r\u00e9p\u00e8te l\u2019op\u00e9ration de lecture plusieurs fois, ou l\u2019op\u00e9ration de lecture apr\u00e8s une r\u00e9\u00e9dition du calcul, on obtiendra normalement le m\u00eame r\u00e9sultat.<\/p>\n

C\u2019est vrai aussi bien pour le stockage de l\u2019information que pour son transport et pour les traitements dans des processeurs. Ceci est valable modulo les erreurs qui peuvent intervenir dans le parcours. Celles-ci interviennent le plus souvent au niveau de la m\u00e9moire et sont corrig\u00e9es via des syst\u00e8mes\u2026 de correction d\u2019erreurs utilisant de la redondance.<\/p>\n

\"Bits<\/a><\/p>\n

Dans un qubits, rien \u00e0 voir ! Si les qubits sont g\u00e9n\u00e9ralement initialis\u00e9s \u00e0 0, les op\u00e9rations portant dessus vont g\u00e9n\u00e9ralement les amener \u00e0 avoir un \u00e9tat de superposition entre 0 et 1. Ces \u00e9tats correspondent \u00e0 l\u2019\u00e9tat de base \u2018'(\u201cground state\u201d) et \u00e0 l\u2019\u00e9tat excit\u00e9 (\u201cexcited state\u201d) d\u2019un syst\u00e8me quantique \u00e0 deux \u00e9tats possibles. Ces qubits peuvent donc \u00eatre \u00e0 la fois \u00e0 la valeur 0 et 1, et dans une proportion qui est variable et qui correspond \u00e0 la notion de superposition d\u2019\u00e9tats \u00e9voqu\u00e9e dans la partie pr\u00e9c\u00e9dente sur les fondements de la m\u00e9canique quantique. A la fin des calculs, lorsque l\u2019on lit la valeur d\u2019un qubit, on retrouve 0 ou 1. La richesse des valeurs du qubits se manifeste donc uniquement pendant les calculs et non pas \u00e0 leur initialisation o\u00f9 lors de leur lecture \u00e0 la fin des calculs. C\u2019est un concept que vous ne comprendrez compl\u00e8tement que lorsque nous aurons d\u00e9crit quelques algorithmes quantiques lors d\u2019une partie suivante de cette s\u00e9rie.<\/p>\n

Ici, nous allons d\u2019abord creuser le mod\u00e8le math\u00e9matique de repr\u00e9sentation des qubits et comprendre comment on peut se le repr\u00e9senter physiquement et mentalement.<\/p>\n

Nous ferons alors un tour des diff\u00e9rents types de qubits physiques. Les mod\u00e8les math\u00e9matiques de repr\u00e9sentation des qubits ne d\u00e9pendent pas de leur type physique. Seules les caract\u00e9ristiques de l\u2019ordinateur sont affect\u00e9es comme le taux d\u2019erreur et la nature des portes quantiques physiques de base dites \u201cuniverselles\u201d agissant sur les qubits sachant que toutes les portes quantiques sont ex\u00e9cutables sur les ordinateurs quantiques.<\/p>\n

La sph\u00e8re de Bloch de repr\u00e9sentation de l\u2019\u00e9tat des qubits<\/strong><\/p>\n

Dans un mod\u00e8le probabiliste classique, un pbit ou bit probabiliste aurait une probabilit\u00e9 p d\u2019avoir la valeur 0 et 1-p d\u2019avoir la valeur 1. Ce serait un mod\u00e8le probabiliste lin\u00e9aire.<\/p>\n

\"Bits<\/a><\/p>\n

Dans un qubit, c\u2019est bien diff\u00e9rent ! Le mod\u00e8le de repr\u00e9sentation math\u00e9matique de l\u2019\u00e9tat d\u2019un qubit s\u2019appuie sur la fameuse sph\u00e8re de Bloch<\/strong>, qui m\u2019a donn\u00e9 bien du fil \u00e0 retordre en termes de compr\u00e9hension. Je vais partager avec vous ce que j\u2019ai pu en comprendre apr\u00e8s des mois de recherche dans des dizaines de cours, articles scientifiques et livres sur le calcul quantique.<\/p>\n

Ce mod\u00e8le est li\u00e9 \u00e0 la repr\u00e9sentation de l\u2019\u00e9tat d\u2019un qubit ou de tout quantum \u00e0 deux \u00e9tats par un vecteur \u00e0 deux dimensions dont la longueur dite \u201cnorme\u201d est toujours de 1. Ce vecteur a la particularit\u00e9 de comporter deux \u00e9l\u00e9ments : un nombre r\u00e9el (alpha) et un nombre complexe (beta).<\/p>\n

Dans la sph\u00e8re de Bloch, l\u2019\u00e9tat |0> d\u2019un quantum \u00e0 deux \u00e9tats est figur\u00e9 par la position d\u2019un vecteur de longueur 1 allant du centre de la sph\u00e8re vers le p\u00f4le Nord de la sph\u00e8re et l\u2019\u00e9tat |1> est un vecteur allant du centre de la sph\u00e8re \u00e0 son p\u00f4le Sud.<\/p>\n

\"Sphere<\/a><\/p>\n

Les \u00e9tats interm\u00e9diaires sont repr\u00e9sent\u00e9s par des vecteurs partant du centre de la sph\u00e8re qui sont toujours de longueur 1 avec un angle theta par rapport \u00e0 la verticale z et un angle psi par rapport \u00e0 l\u2019axe x situ\u00e9 allant du centre de la sph\u00e8re \u00e0 son \u00e9quateur et autour de l\u2019axe z. Histoire de simplifier les choses, les \u00e9tats |0> et |1> qui sont oppos\u00e9s dans la sph\u00e8re de Bloch sont dits \u201corthogonaux\u201d alors qu\u2019ils sont oppos\u00e9s dans la sph\u00e8re. Nous allons rapidement comprendre pourquoi.<\/p>\n

R\u00e8gle de Max Born et probabilit\u00e9s<\/u><\/p>\n

Les \u00e9quations d\u00e9crivant l\u2019\u00e9tat d\u2019un qubit indiquent que celui-ci est la superposition de l\u2019\u00e9tat |0> et de l\u2019\u00e9tat |1>. Dans les \u00e9quations, alpha est un nombre r\u00e9el qui d\u00e9crit la probabilit\u00e9 d\u2019obtenir l\u2019\u00e9tat |0> et beta est un nombre complexe qui d\u00e9crit celle d\u2019avoir l\u2019\u00e9tat |1>. La somme des probabilit\u00e9s des deux \u00e9tats doit donner 1. Mais ce n\u2019est pas alpha + beta. C\u2019est alpha au carr\u00e9 plus beta au carr\u00e9 qui donnent 1. Pourquoi donc ? C\u2019est une question qui m\u2019a taraud\u00e9 des mois pendant la pr\u00e9paration de ce texte.<\/p>\n

Ce mod\u00e8le probabiliste a \u00e9t\u00e9 \u00e9labor\u00e9 par Max Born <\/strong>en 1926. Il donne au carr\u00e9 du module de la fonction d’onde d\u2019un quantum la signification d’une densit\u00e9 de probabilit\u00e9 de pr\u00e9sence d\u2019une particule \u00e9l\u00e9mentaire. C\u2019est li\u00e9 au fait que l\u2019\u00e9tat |0> et l\u2019\u00e9tat |1> correspondent non pas \u00e0 une position pr\u00e9cise d\u2019une particule mais sont repr\u00e9sent\u00e9s par la fonction d\u2019onde de Schr\u00f6dinger<\/strong> qui d\u00e9crit la distribution probabiliste de l\u2019\u00e9tat du quantum dans le temps et dans l\u2019espace. Elle est ici appliqu\u00e9e dans l\u2019espace.<\/p>\n

L\u2019\u00e9tat d\u2019un qubit est repr\u00e9sent\u00e9 par un vecteur \u00e0 deux dimensions, ce qui est une information bien plus riche qu\u2019un 0 ou un 1 d\u2019un simple bit ou m\u00eame qu\u2019une probabilit\u00e9 lin\u00e9aire entre 0 et 1. Ce vecteur \u00e0 deux dimensions comprend les deux composantes alpha et beta que nous venons de d\u00e9finir.<\/p>\n

\"Notation<\/a><\/p>\n

Le passage de la fonction d\u2019onde de Schr\u00f6dinger \u00e0 la repr\u00e9sentation alpha\/beta du qubit avec un nombre r\u00e9el et un nombre complexe m\u2019\u00e9chappe encore. Je tente une explication qui fera peut-\u00eatre s\u2019\u00e9trangler les physiciens. Si on prend par exemple deux orbites possibles d\u2019un \u00e9lectron autour du noyau d\u2019un atome dans un mod\u00e8le d\u2019hydrog\u00e8ne simple (il en existe plein<\/a>\u2026), la fonction d\u2019onde de l\u2019orbite basse dans l\u2019espace sera une sorte de courbe de Gauss d\u00e9cal\u00e9e de celle de l\u2019orbite haute. Intuitivement, je me dis que la probabilit\u00e9 d\u2019avoir l\u2019\u00e9lectron dans l\u2019orbite haute ou basse est proportionnelle \u00e0 l\u2019int\u00e9grale des fonctions d\u2019onde correspondantes \u00e0 ces orbites. D\u2019o\u00f9 le carr\u00e9 qui serait une approximation de la valeur du pic de la gaussienne, \u00e0 supposer que ce pic corresponde \u00e0 la taille des vecteurs alpha et beta de repr\u00e9sentation des \u00e9tats des qubits. M\u2019enfin, je ne suis pas s\u00fbr !<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Pour en savoir plus et avec une meilleure exactitude scientifique, vous pouvez consulter la fiche Wikipedia de la fonction d\u2019onde<\/a> ainsi que celle de la probabilit\u00e9 d\u2019amplitude<\/a>. On trouve d\u2019autres explications dans l\u2019exemple des niveaux d\u2019orbites d\u2019\u00e9lectrons dans l\u2019atome d\u2019hydrog\u00e8ne dans Quantum Mechanics and the hydrogen atom<\/a> (19 slides). L\u2019interpr\u00e9tation physique de la r\u00e8gle statistique de Max Born reste en tout cas ouverte si l\u2019on en juge par ce papier de juin 2018 d\u2019Arkady Bolotin, Quantum probabilities and the Born rule in the intuitionistic interpretation of quantum mechanics<\/a> (14 pages).<\/p>\n

Trigonom\u00e9trie dans la sph\u00e8re de Bloch<\/u><\/p>\n

Second myst\u00e8re \u00e0 r\u00e9soudre, pourquoi donc l\u2019angle theta est-il divis\u00e9 par deux dans les \u00e9quations d\u00e9crivant un \u00e9tat quantique dans la sph\u00e8re de Bloch dans les calculs de sinus et de cosinus des formules donnant alpha et beta ? Cela vient de ce que l\u2019\u00e9tat |1> est plac\u00e9 en bas de la sph\u00e8re pour que l\u2019espace des \u00e9tats du qubit occupe toute la sph\u00e8re et pas seulement son h\u00e9misph\u00e8re nord.<\/p>\n

C\u2019est d\u00e9crypt\u00e9 dans The Bloch Sphere de Ian Glendinning<\/a>, 2005 (33 slides) qui explique cela par l\u2019orthogonalit\u00e9 math\u00e9matique des deux \u00e9tats |0> et |1> qui sont pourtant oppos\u00e9s dans la sph\u00e8re de Bloch. C\u2019est encore mieux expliqu\u00e9 dans Why is theta\/2 used for a Bloch sphere instead of theta ?<\/a> qui a d\u00e9finitivement \u00e9claircit ce myst\u00e8re pour moi. Je m\u2019en suis inspir\u00e9 pour cr\u00e9er le sch\u00e9ma ci-dessous<\/em>. C\u2019est un peu tarabiscot\u00e9 et vous n\u2019\u00eates pas oblig\u00e9s d\u2019y passer du temps.<\/p>\n

\"Sphere<\/a><\/p>\n

Comme l\u2019\u00e9tat |1> est math\u00e9matiquement orthogonal par construction \u00e0 l\u2019\u00e9tat |0>, leur angle \u201cmath\u00e9matique\u201d calcul\u00e9 doit \u00eatre de 90\u00b0 (pi\/2). Or, l\u2019angle theta est du double de cet angle dans la sph\u00e8re car il est de pi (pour m\u00e9moire pi*2 = circonf\u00e9rence de 360\u00b0). Donc, on divise theta par deux pour relier la repr\u00e9sentation g\u00e9om\u00e9trique dans la sph\u00e8re avec la repr\u00e9sentation math\u00e9matique de l\u2019\u00e9tat du qubit. Et surtout, pour permettre un \u00e9talement de tous les \u00e9tats d\u2019un qubits sur l\u2019ensemble de la sph\u00e8re.<\/p>\n

J\u2019illustre ceci dans le sch\u00e9ma composite ci-dessus qui sert \u00e0 comprendre la chose pour les lecteurs patients et comprenant les bases de la trigonom\u00e9trie et des nombres complexes. Dans l\u2019histoire, alpha est toujours un nombre r\u00e9el car c\u2019est un simple cosinus. Seul beta peut-\u00eatre un nombre complexe. Il l\u2019est d\u00e8s lors que le qubit n\u2019est pas dans le plan croisant l\u2019axe x (theta = 0) et l\u2019axe z (phi = 0) de la sph\u00e8re de Bloch. Ce nombre complexe associe une partie r\u00e9elle pour la direction x et une partie complexe pour la dimension y qui est orthogonale \u00e0 x.<\/p>\n

Un point important \u00e0 noter est que la repr\u00e9sentation sur la sph\u00e8re de Bloch est un mod\u00e8le math\u00e9matique probabiliste. Elle ne correspond pas \u00e0 un mod\u00e8le physique, comme l\u2019angle de polarisation d\u2019un photon ou le spin d\u2019un \u00e9lectron, malgr\u00e9 les similitudes. Sachant n\u00e9anmoins que ce mod\u00e8le a \u00e9t\u00e9 cr\u00e9\u00e9 \u00e0 l\u2019origine pour repr\u00e9senter le spin d\u2019\u00e9lectrons.<\/p>\n

Lorsque le vecteur d\u2019\u00e9tat du qubit est horizontal dans la sph\u00e8re, c’est-\u00e0-dire qu’il va jusqu’\u00e0 son \u00e9quateur (sch\u00e9ma ci-dessous<\/em>), nous sommes dans un \u00e9tat superposant l\u2019\u00e9tat 0 et l\u2019\u00e9tat 1 \u00e0 \u00e9galit\u00e9, mais avec une phase variable qui est li\u00e9e \u00e0 l\u2019angle horizontal du vecteur phi par rapport \u00e0 l\u2019axe z comme dans le sch\u00e9ma ci-dessous. Pourquoi une phase ? Parce que ce vecteur est li\u00e9 \u00e0 la fonction d\u2019onde de Schr\u00f6dinger et que l\u2019\u00e9tat d\u2019un quantum est une fonction d\u2019onde additionnant les fonctions d\u2019onde de ses \u00e9tats de base !<\/p>\n

\"Coupe<\/a><\/p>\n

Cette information riche d\u2019un qubit est modifi\u00e9e ensuite par des portes quantiques. Une porte quantique unitaire, \u00e0 savoir, qui s\u2019applique \u00e0 un seul qubit, applique une rotation \u00e0 l\u2019\u00e9tat du qubit dans sa sph\u00e8re de Bloch. Cette rotation est appliqu\u00e9e via une matrice de nombres complexes 2×2, dite matrice orthogonale de d\u00e9terminant 1. De d\u00e9terminant 1 car elle ne va pas modifier la longueur du vecteur apr\u00e8s son application. Cette longueur restera toujours de 1. Nous examinerons la diversit\u00e9 de ces portes quantiques dans la partie suivante de cette s\u00e9rie.<\/p>\n

J\u2019ai l\u2019impression qu\u2019en r\u00e8gle g\u00e9n\u00e9rale, les portes quantiques ne g\u00e9n\u00e8rent pas toutes les positions de vecteurs dans la sph\u00e8re de Bloch. ce sont souvent des quarts de tours. Les points de la sph\u00e8re les plus souvent utilis\u00e9s sont les points cardinaux : le 0, le 1, puis les quatre points correspondant \u00e0 la superposition 0 et 1 qui sont sur l\u2019\u00e9quateur de la sph\u00e8re.<\/p>\n

On doit finalement cette sph\u00e8re de Bloch \u00e0 trois personnes : Erwin Schr\u00f6dinger <\/strong>pour sa fonction d\u2019onde de 1926, Max Born <\/strong>pour son mod\u00e8le probabiliste associ\u00e9, cr\u00e9\u00e9 la m\u00eame ann\u00e9e et \u00e0 Felix Bloch <\/strong>(1903-1983, Suisse) qui a repr\u00e9sent\u00e9 l\u2019\u00e9tat d\u2019un quantum \u00e0 deux niveaux sur la sph\u00e8re en 1946. En optique et pour d\u00e9crire la polarisation d\u2019un photon, la sph\u00e8re de Bloch s\u2019appelle la sph\u00e8re de Poincar\u00e9, du nom du math\u00e9maticien fran\u00e7ais Henri Poincar\u00e9<\/strong>, mort en 1912 et cousin germain du pr\u00e9sident Raymond Poincar\u00e9.<\/p>\n

Voici quelques sources d\u2019information associ\u00e9es \u00e0 cette partie : Lectures on Quantum Computing<\/a> de Dan C. Marinescu et Gabriela M. Marinescu, 2003 (274 pages), The Bloch Sphere<\/a> de Ian Glendinning, 2005 (33 slides), The statistical interpretation of quantum mechanics<\/a>, discours d\u2019acceptation du prix Nobel de physique de Max Born en 1954 (12 pages) ainsi que l\u2019excellent livre The mathematics of quantum mechanics<\/a> de Martin Laforest, 2015 (111 pages), qui d\u00e9crit les basiques math\u00e9matiques de l\u2019informatique quantique avec les nombres complexes, les vecteurs, les matrices et tout le toutim.<\/p>\n

Cycle de vie d\u2019un qubit<\/strong><\/p>\n

Au bilan, le qubit est un objet math\u00e9matique un peu particulier :<\/p>\n